les2
STATISTIEK VOOR HISTORICI
les4

3. ANALYSE VAN HISTORISCHE REEKSEN

3.1. Historische reeksen
3.2. Indexcijfers en voortschrijdende gemiddelden
3.3. Indexcijfers
3.4. De componenten van een tijdreeks
3.5. Het voortschrijdend gemiddelde
3.6. Gecentreerde voortschrijdend gemiddelde


 BIJ LES 3 BEHORENDE:
Excelinstructies Opdrachten boek Lindblad
1. Enkelvoudige indexcijfer 5. Indexcijfer
2. Ongewogen indexcijfer 6. Indexcijfer
3. Gewogen indexcijfer 7. Trend
4. Voortschrijdend gemiddelde



3.1. Historische reeksen

a. Doel van de analyse van historische reeksen is het bestuderen van:
• De ontwikkeling van één of meer verschijnselen in de tijd
• De opbouw van en fluctuaties in die verschijnselen in de tijd


b. De waarden in een historische reeks kunnen de vorm hebben van:
• Absolute cijfers
• Indexcijfers
• Voortschrijdend gemiddelden
• Logaritmen (zie 2.5)


3.2. Indexcijfers en voortschrijdend gemiddelden

a. Indexcijfers
Indexcijfers geven een overzicht van de ontwikkeling van een variabele in de loop van de tijd aan de hand van een verhoudingsgetal, dat de waarde op een bepaald tijdstip uitdrukt als verhoudingscijfer van de waarde op een begintijdstip.
De waarde in het beginjaar wordt op 100 gesteld. Indexcijfers beneden de 100 geven een daling ten opzichte van het beginjaar aan, indexcijfers boven de 100 een stijging.
Het verschil tussen het indexcijfer en 100 geeft de relatieve stijging of daling in procenten aan.


b. Voortschrijdend gemiddelden
Geven een beeld van de opbouw van een historische reeks en de aard van de fluctuaties in de loop van de tijd.


3.3. Indexcijfers

a. Onderscheiden worden:
Enkelvoudige indexcijfers
Samengestelde indexcijfers; bij deze laatste wordt een verder onderscheid gemaakt naar ongewogen en gewogen samengestelde indexcijfers.


b. Enkelvoudige indexcijfers:
Het enkelvoudige indexcijfer wordt berekend door de waarde in het jaar van beschouwing te delen door de waarde in het basisjaar en de uitkomst te vermenigvuldigen met 100.

In formule:


Waarbij:
Ki Indexcijfer op tijdstip t
Pi Waarde op tijdstip t
Po Waarde op basistijdstip b

Voorbeeld: Enkelvoudig indexcijfer van graanprijzen
Jaar Graanprijs Indexcijfer
1850 (het basisjaar) 25 100 (= 25/25 * 100)
1875 20 20/25 * 100 = 80
(= 20% afname t.o.v. 1850)
1900 35 35/25 * 100 = 140
(= 40% toename t.o.v. 1850)

b. Samengestelde indexcijfers:
Hierbij is sprake van een gemiddelde van verschillende enkelvoudige indexcijfers, die tezamen één geheel vormen (voorbeeld: AEX-index; loonkostenindex, consumptieprijsindex). Bij deze samengestelde indexcijfers onderscheiden we ongewogen en gewogen indexcijfers.
Bij ongewogen samengestelde indexcijfers wegen alle componenten even zwaar.
Bij gewogen (samengestelde) indexcijfers hebben de componenten elk een verschillend aandeel, afhankelijk van een wegingscoëfficiënt.

c. Gewogen samengestelde indexcijfers:
De wegingscoëfficiënten worden uitgedrukt als percentage van één grootheid, zodat de noemer altijd gelijk is aan 1 en in de formule wegvalt.
Waar mogelijk, wordt de voorkeur gegeven aan het gewogen samengesteld indexcijfer boven het ongewogen indexcijfer.
Voor de berekening van het gewogen samengestelde indexcijfer bestaan twee methoden:
Een indexcijfer dat de veranderingen weergeeft voor een pakket waarvan de samenstelling sinds het basisjaar ongewijzigd is gebleven; dit is het indexcijfer volgens Laspeyres.
Een indexcijfer dat de veranderingen weergeeft voor een pakket uit een beschouwd jaar; dit is het indexcijfer volgens Paasche.

Tabel 2. De kosten van levensonderhoud in Nederland in de jaren 1975-1981:
het ongewogen prijsindexcijfer van de gezinsconsumptie

Kostencategorieën Indexcijfers
1975 1978 1981
Voeding 100 116,3 131,1
Woning 100 123,6 155,6
Kleding en schoeisel 100 121,1 140,4
Hygiëne en medische verzorging 100 126,6 148,8
Ontwikkeling, ontspanning, enz. 100 117,3 139,6
Particuliere verzekeringen 100 130,2 148,2
Totaal (Gemiddelde) 100 122,5 144,0

Bron: J.Th. Lindblad, Statistiek voor historici (Muiderberg 1991).



3.4. De componenten van een tijdreeks

Een historische tijdreeks kan zijn opgebouwd uit de volgende componenten:
a. Trend
b. Conjunctuur
c. Seizoensbeweging
d. Toeval

Ad a. Trend
De trend is de meest systematische component en geeft de beweging op langere termijn weer. Meestal beperken we ons tot de lineaire trend, die kan worden berekend met behulp van regressieanalyse (zie les 10). Als we de trend minder nauwkeurig opvatten als de 'globale ontwikkeling', wordt het voortschrijdend gemiddelde wel gebruikt om de fluctuaties van jaar tot jaar uit te schakelen.

Ad b. Conjunctuur
De conjunctuur weerspiegelt een cyclische golfbeweging rond de trend waarvan de periode enkele jaren (doorgaans tussen de vijf en elf jaar) beslaat. De conjunctuur wordt meestal berekend met behulp van het voortschrijdend gemiddelde.

Ad c. Seizoensbeweging
De seizoensbeweging is een regelmatig terugkerende beweging waarvan de periode korter is dan één jaar. Ook de seizoensbeweging wordt berekend met behulp van het voortschrijdend gemiddelde, maar dan over precies zoveel tijdseenheden (vier maanden, twaalf kwartalen) als er in het jaar gaan.

Ad d. Toeval
Het toeval is datgene wat overblijft na het onderscheiden van de systematische factoren (trend, conjunctuur en seizoen) in de oorspronkelijke tijdreeks. Het toeval wordt ook wel aangeduid als het 'residu', de 'foutterm' of de 'verstoring' (Engels: residual, error term, disturbance).



3.5. Het voortschrijdend gemiddelde

Bij het berekenen van het voortschrijdend gemiddelde (V.G.) Bepaalt men het rekenkundige gemiddelde van een in de tijd verschuivend deel van de historische reeks.
Zo bepaalt men bij een driejaarlijks V.G. eerst het gemiddelde van het eerste tot en met het derde jaar, dan het gemiddelde van het tweede tot en met het vierde, dan van het derde tot en met het vijfde, enz.
Bij een oneven aantal jaren behoort het berekende gemiddelde steeds tot het middelste jaar van iedere periode (= het gemiddelde van de periode). Bij een even aantal perioden is er geen 'middelste waarneming' en wordt een aangepaste berekeningswijze gebruikt (zie 3.6).
Bij een driejaarlijks V.G. kun je geen gemiddelde berekenen voor het eerste en het laatste jaar van waarneming; bij een vijfjaarlijks V.G. niet voor de eerste en laatste twee jaren, etc.
Hoe langer de periode waarover men het voortschrijdend gemiddelde berekent, hoe meer de jaarlijkse variaties worden afgevlakt.

Voorbeeld: Berekening van het voortschrijdend gemiddelde in de ontwikkeling van de uitvoer van Engeland, 1855-1865
Jaar Waarde voortschrijdend gemiddelden

(Milj. pond) Driejaarlijks Vijfjaarlijks
1855 95,7

1856 115,8 (95,7 + 115,8 + 122) / 3 = 111,2
1857 122,0 (115,8 + 122 + 116,6) / 3 = 118,1 (95,7 + 115,8 + 122 + 116,6 + 130,4) / 5 = 116,1
1858 116,6 123,0 124,1
1859 130,4 127,6 126,0
1860 135,9 130,5 126,4
1861 125,1 128,3 132,4
1862 124,0 131,9 138,4
1863 146,5 143,6 144,4
1864 160,4 157,6
1865 165,8


Bron: Lindblad, Statistiek voor historici (Muiderberg 1991).



3.6. Gecentreerde voortschrijdend gemiddelde

Bij de berekening van een V.G. met een even aantal perioden, zoals bij het vier-kwartaals V.G., het 12-maandelijks V.G., het tien-jaarlijks V.G., etc., wordt een aangepaste berekeningswijze gebruikt, omdat er geen middelste waarnemingsperiode bestaat. Dit is de methode van het gecentreerde V.G.
Je kunt je dit bij een vier-kwartaals V.G. als volgt voorstellen:
eerst wordt het gemiddelde van de eerste vier kwartalen (zie onderstaand voorbeeld: 1850 kwartaal I t/m IV) berekend. Dit gemiddelde hoort tussen het tweede en derde kwartaal in te liggen.
Vervolgens wordt het gemiddelde van de volgende vier kwartalen berekend (1850 kwartaal II t/m 1851 kwartaal I). Dit ligt tussen kwartaal III en IV (van 1850) in.
Tel nu beide gemiddelden op en deel het resultaat door 2 om het gecentreerde V.G. te verkrijgen (= het gemiddelde van de twee gemiddelden). Dit behoort bij het derde kwartaal!
Bij deze werkwijze tellen de eerste en laatste (vijfde) waarneming half. Je kunt het gecentreerde V.G. ook in één stap berekenen door van het eerste en het laatste (vijfde) kwartaal de helft te nemen. De tussenliggende waarden tellen gewoon eenmaal. Deel de som van de vijf kwartalen door vier.

Voorbeeld: Berekening van het vier-kwartaals V.G.
Jaar Kwartaal Prijs Eerste
4-kwartaals-gemiddelde
Tweede
4-kwartaals-gemiddelde
Gecentreerd 4-kwartaals V.G.
1850 I 18


1850 II 13





(18 + 13 + 8 + 14) / 4 = 13,25

1850 III 8

(13,25 + 13,75) / 2 = 13,5




(13 + 8 + 14 + 20) / 4= 13,75
1850 IV 14


1851 I 20


1851 II 12


1851 III 9


1851 IV 15


1852 I 21





les2
© Instituut voor Geschiedenis, Universiteit Leiden 1998-2004
Redactie: P.K. Doorn / M.P. Rhebergen / L.J. Touwen
les4